A Napier-szabály és a Napier-analógiák


A Napier-szabály:
(John Napier (vagy Neper), skót teológiai író, matematikus, 1550-1617)

A Napier-szabály a derékszögű gömháromszögekre vonatkozó összefüggések megjegyzését könnyíti meg. Ezeket az összefüggéseket nem Napier fedezte fel, hiszen már jóval őelőtte is kiszámolták az asztrológusok a születési időből az MC-t és az Ascendenst, ehhez pedig mindenképpen szükségük volt ezekre, de Napier foglalta össze ezeket egyetlen szabályban.

Vegyünk egy derékszögű gömbháromszöget.


Egy kör mentén írjuk fel egymás után a szögeit és az oldalait, ahogy következnek, oly módon, hogy a derékszög melletti oldalak (a és b) helyett (90-a) -t és (90-b) -t írunk, a derékszöget magát pedig elhagyjuk.


Ekkor a kör mentén található bármely elem KOszinusza egyenlő a mellette lévő két elem KOtangensének szorzatával vagy a vele SZemben fekvő két elem SZínuszának szorzatával.

Sajnos, erre a szabályszerűségre nem találtam levezetést. Egyelőre.

Napier-analógiák:

Amennyiben olyan gömbháromszögtani számításokat kell elvégeznünk, amelyek nem vezethetők vissza derékszögű gömbháromszögekre, szükségünk lehet a Napier-analógiák ismeretére. (Ebben a könyvben ilyen számításokat nem fogunk használni, így a fejezetnek ez a része át is ugorható.)

A Napier-analógiák olyan egyenletek, amelyek a gömbháromszögek oldalai és szögei közötti összefüggéseket írják le. Ezek segítségével, ha a gömbháromszög három adata ismert, a többi is kiszámolható.

Legyen a gömbháromszög két oldala A és B, az általuk közbezárt szög pedig g, a és b a gömbháromszög másik két szöge. (Emlékeztetőül: a gömbháromszög oldala is kifejezhető a gömb közepétől mért szögben, sőt, a gömbháromszögtanban épp ez az általános.) Ekkor:

$${ \begin{aligned} \text{tg}{ \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) } &= \frac{ \cos{ \left( \frac{a-b}{2} \right) } } { \cos{ \left( \frac{a+b}{2} \right) } } * \text{ctg}{ \left( \frac{\gamma}{2} \right) } \\ \\ \text{tg}{ \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) } &= \frac{ \sin{ \left( \frac{a-b}{2} \right) } } { \sin{ \left( \frac{a+b}{2} \right) } } * \text{ctg}{ \left( \frac{\gamma}{2} \right) } \end{aligned} }$$ Ennek alapján kapunk a+b-ra egy értéket, legyen ez X, és a-b-ra egy másikat, legyen ez Y. (a + b = X illetve a - b = Y) Ennek alapján:
$${ \begin{aligned} \alpha + \beta + \alpha - \beta &= X + Y \\ 2*\alpha &= X+Y +1 \\ \alpha &= \left( X+Y \right) / 2 \\ \end{aligned} }$$ vagy:
$${ \begin{aligned} \left( \alpha + \beta \right) - \left( \alpha - \beta \right) &= X - Y \\ \alpha + \beta - \alpha + \beta &= X - Y \\ 2*\beta &= X - Y \\ \beta &= \left( X - Y \right) / 2 \end{aligned} }$$

Hasonlóképpen járunk el akkor is, ha a gömbháromszög egyik oldala (c) és a rá illeszkedő két szög (a és b) ismertek:
$${ \begin{aligned} \text{tg} \left( \frac{a+b}{2} \right) &= \frac{ \cos{ \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) } }{ \cos{ \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) } } * \text{ctg}\left( \frac{c}{2} \right) \\ \\ \text{tg} \left( \frac{a-b}{2} \right) &= \frac{ \sin{ \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) } }{ \sin{ \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) } } * \text{ctg}\left( \frac{c}{2} \right) \end{aligned} }$$ Ebből, az fentiekben már ismertetett módon:
$${ \left( a+b \right) /2 = X \text{ , } \left( a-b \right) /2 = Y \text{ : } \\ \begin{aligned} a &= \left( X+Y \right) / 2 \\ b &= \left( X-Y \right) / 2 \end{aligned} }$$

A Napier - analógiák levezetése megtalálható az interneten, ezen az oldalon.