A Napier-analógiák és a Napier-szabály


Napier-analógiák:
(John Napier (vagy Neper), skót teológiai író, matematikus, 1550-1617)

A Napier-analógiák olyan egyenletek, amelyek a gömbháromszögek oldalai és szögei közötti összefüggéseket írják le. Ezek segítségével, ha a gömbháromszög három adata ismert, a többi is kiszámolható.

Legyen a gömbháromszög két oldala A és B, az általuk közbezárt szög pedig g, a és b a gömbháromszög másik két szöge. (Emlékeztetőül: a gömbháromszög oldala is kifejezhető a gömb közepétől mért szögben, sőt, a gömbháromszögtanban épp ez az általános.) Ekkor:


Ennek alapján kapunk a+b-ra egy értéket, legyen ez X, és a-b-ra egy másikat, legyen ez Y. (a + b = X illetve a - b = Y) Ennek alapján:

a + b + a - b = X + Y
2*a = X+Y
a = (X+Y) / 2

vagy:

(a + b) - (a - b) = X - Y
a + b - a + b = X - Y
2*b = X-Y
b = (X - Y) / 2

Hasonlóképpen járunk el akkor is, ha a gömbháromszög egyik oldala (c) és a rá illeszkedő két szög (a és b) ismertek:


Ebből, az fentiekben már ismertetett módon:
(a+b)/2 = X és (a-b)/2 = Y, amiből:
a = (X+Y)/2 és
b = (X-Y) /2

A Napier - analógiák levezetése megtalálható az interneten, ezen az oldalon.

A Napier-szabály:

A Napier-szabály a derékszögű gömháromszögekre vonatkozó összefüggések megjegyzését könnyíti meg. Ezeket az összefüggéseket nem Napier fedezte fel, hiszen már jóval őelőtte is kiszámolták az asztrológusok a születési időből az MC-t és az Ascendenst, ehhez pedig mindenképpen szükségük volt ezekre, de Napier foglalta össze ezeket egyetlen szabályban.

Vegyünk egy derékszögű gömbháromszöget.


Egy kör mentén írjuk fel egymás után a szögeit és az oldalait, ahogy következnek, oly módon, hogy a derékszög melletti oldalak (a és b) helyett (90-a) -t és (90-b) -t írunk, a derékszöget magát pedig elhagyjuk.


Ekkor a kör mentén található bármely elem KOszinusza egyenlő a mellette lévő két elem KOtangensének szorzatával vagy a vele SZemben fekvő két elem SZínuszának szorzatával.

Sajnos, erre a szabályszerűségre nem találtam levezetést. Egyelőre.