Ellipszisek


Az ellipszis az euklideszi sík azon pontjainak összessége, amelyek két meghatározott ponttól mért távolságának összege állandó. E két pontot az ellipszis fókuszpontjainak nevezzük.


Számunkra az ellipszis ismerete azért szükséges, mert azon kör felülnézeti képe, amelyet egy a szöggel megdöntünk, ellipszist ad ki. Így például, az Ekliptika képe, ha az Egyenlítőre merőleges egyenes egy pontjából szemléljük, szintén ellipszis. Némely asztrológiai számításhoz ennek az ellipszisnek az ismerete nélkülözhetetlen.


Az ellipszis azon húrja, amely mindkét fókuszpontján áthalad, az ellipszis főtengelye. Azon húrja, amely a főtengelyre merőleges, és azt a felezőpontjában metszi, az ellipszis kistengelye. A főtengely felét nevezhetjük az ellipszis nagy sugarának (R), a kistengely felét a kis sugarának (r).


Ha az ellipszist olyan derékszögű koordináta-rendszerbe helyezzük, melynek origója egybe esik az ellipszis tengelyeinek metszéspontjával (azaz az ellipszis középpontjával), akkor az ellipszis sugarai és egyes pontjai közötti összefüggést az alábbi egyenlet adja meg:

Ha az ellipszis köré R sugárral kört rajzolunk, akkor a kör egyes pontjaihoz tartozó szögekből kifejezhetők az ellipszis pontjai. Ezt az összefüggést az alábbi egyenletek adják meg:
X = R * cos(a)
Y = r * sin(a)

Ennek könnyebb belátásához rajzoljunk egy ellipszist és köré egy R sugarú kört, és vegyünk fel egy a szöget.


A körrel kapcsolatban az X1 = R * cos(a) és Y1 = R * sin(a) összefüggéseket már ismerjük. Ezeknek általános formája - R-t egységnyinek tekintve - az X1 = cos(a) és Y1 = sin(a) összefüggés. Az ellipszis a szögből kifejezhető pontjának X koordinátája ugyanaz, mint a köré írt kör a szöghöz tartozó X1 ponjáé, ám az Y ponté nem, mivel ezt az ellipszis esetében nem R-rel, hanem r-rel szorozzuk be; tehát kisebb lesz, mint a kör Y1 koordinátája. Egyszerűen szólva egy "lapított" kört kapunk.

Ha egy kört, eredeti síkjához képest, valamely nullától különböző szöggel (e) megdöntünk, és pontjait az eredeti síkra vetítjük, a vetített pontok ellipszist alkotnak. A kör R sugara ekkor az ellipszis R sugarát adja, míg az ellipszis r sugarát az alábbi képlet adja meg:
r = cos(e) * R


Az ellipszisekkel kapcsolatos fontos kérdés lesz még számunkra, az asztrológiai számítások szempontjából, hogy egy középponti ellipszist egy középponti kör hol metsz, és az egyes metszéspontokhoz mekkora szögek tartoznak?


Természetesen, metszéspontok ebben az esetben akkor jöhetnek létre, ha a kör sugara (q) nem nagyobb, mint az ellipszis nagy sugara (R) és nem kisebb, mint a kis sugara (r).
A középponti kör egyenlete:

A középponti ellipszisé:

Későbbi számításainkban (q) és (r) értéke ismert lesz, (R) értékét pedig, mint mindig, egységnyinek tekintjük.
Az ellipszis egyenlete ezért így módosul:

Mivel az ellipszis és a kör közös pontját keressük, ezért a kör egyenletéből kifejezzük -et () és ezt behelyettesítjük a fenti képletbe:

Mivel r és q ismert, megkaptuk Y négyzetét. Ebből gyököt vonva, megkapjuk Y értékét, ami lehet negatív és pozitív is. Az eredeti egyenletbe behelyettesítve megkapjuk X négyzetét, ebből pedig X-et, ami szintén lehet pozitív és negatív is. Így összesen 4 metszéspontot kapunk. Az ezekhez tartozó középponti szög pedig a tan( a ) = Y/X összefüggés alapján megkapható.