A háromszög és a szögfüggvények.


Háromszög:

Három pont által meghatározott három szakasz háromszöget alkot, illetve határol.

A szögeket - általában is, nem csak a háromszögön belül - a görög ABC kisbetűivel jelöljük. A háromszög egyes oldalait a vele szemben lévő szögnek megfelelően, a latin ABC kisbetűivel jelöljük.


A háromszög szögeinek összege 180 fok.

Bizonyítás:

A háromszög valamely csúcsába futó szakaszokat egészítsük ki a csúcson túl futó félegyenesekké. A csúcson át húzzunk egyenest, amely a csúcsal szembeni oldallal párhuzamos. Így a csúcson három, az eredeti háromszögön kívül lévő szöget kaptunk, amelyekre a következő állítások igazak:

- az egyik szög két szára a háromszög egyik szögének két szárával azonos egyenesen fekszik, ezért azzal egyenlő

- a másik két szög két szára a háromszög egy-egy szögének egyik szárával párhuzamos, a másikkal közös egyenesen fekszik, ezért azzal egyenlő.

A kapott három szög az egyenes egyik pontjától a másikig tartó körívet ad ki, vagyis 180 fokos, ezért a háromszög szögeinek összege is 180 fok.


Az egyenlő szárú háromszög alapján fekvő két szöge egyenlő.

Bizonyítás:

A háromszög csúcsából állítsunk merőlegest a háromszög alapjára. Erre a merőlegesre tükrözve az egyik alapon fekvő szög csúcsát és szárait, a másik alapon fekvő szöget kapjuk meg, tehát nagyságuk egyenlő.

Thales-tétel:

Ha egy háromszög alapja egy kör átmérőjét képezi, az alapjával szemben lévő csúcsa pedig ugyanazon körön fekszik, akkor az alapjával szembeni szöge derékszög.

Bizonyítás:

Húzzunk egyenest a kör középpontjából a háromszög alappal szembeni csúcsához. Ezzel két egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelyek alapon fekvő szögei az eredeti háromszög szögeit adják ki, ezért összegük 180 fok.

a+a+b+b = 180 fok

2*a + 2*b = 180 fok

2*(a+b) = 180 fok

a+b = 90 fok

Derékszögű háromszög:

Az olyan háromszöget, melynek egyik szöge derékszög, derékszögű háromszögnek nevezzük. A háromszög azon oldalait, amelyek a derékszög szárait alkotják, befogónak, a harmadik - leghosszabb - oldalát átfogónak nevezzük.

A derékszögű háromszögben általában a kisebbik befogót jelöljük "a"-val, a nagyobbikat "b"-vel és az átfogót "c"-vel.

Szögfüggvények:

A szögfüggvények az egységnyi átmérőjű derékszögű háromszög oldalainak és szögeinek összefüggéseit írják le.

Vegyünk egy ilyen háromszöget, és tekintsük az egyik, nem derékszögű szögét. Könnyen belátható, hogy minél kisebb ez a szög, a szöggel szembeni befogó is annál kisebb, a szög melletti befogó pedig annál nagyobb; minél nagyobb ez a szög, a szöggel szembeni befogó is annál nagyobb, a szög melletti befogó annál kisebb.


A szöggel szembeni befogó és az átfogó arányát (befogó/átfogó) az adott szög sinusának nevezzük.

sin(a) = a/c


A szög melletti befogó és az átfogó aránya az adott szög cosinusa.

cos(a) = b/c


E két szögfüggvény értékei bármely nagyságú átfogó esetén azonosak, adott szögek mellett.

A szöggel szembeni befogó és a szög melletti befogó aránya a szög tangense, ez egyenlő a szög sinusának és cosinusának arányával.

tg(a) = a/b

tg(a) = sin(a)/cos(a)


A szög melletti befogó és a szöggel szembeni befogó aránya a szög cotangense, ami a szög cosinusának és sinusának arányával egyenlő.

ctg(a) = b/a

ctg(a) = cos(a)/sin(a)


Mivel az egyik szög mellett fekvő befogó a másik szöggel szemben fekszik illetve az egyik szög melletti befogó a másik szöggel szembeni befogó, ezért az egyik szög sinusa egyúttal a másik szö cosinusa is. Mivel pedig e két szög a derékszögű háromszögben 90 fokra kell, hogy kiegészítsék egymást (lévén, a háromszög szögeinek összege 180 fok), ezért:

sin(a) = cos(90-a)

cos(a) = sin(90-a)


A szögfüggvények általánosítása

Az eddig elmondottak a 0° és 90°közötti szögekre vonatkoznak. A szögekkel végzett matematikai műveletek miatt (összeadás, kivonás) azonban később szükségünk lesz a 90 fokosnál nagyobb, vagy éppen 0 fokosnál kisebb szögek sinus és cosinus függvények értékeire is, ezért ezeket is értelmeznünk kell.

Először állapítsuk meg, hogy mit értünk negatív szögön. Ha egy egyenesre szöget állítunk, akkor az egyenestől a szög másik szárához, az óramutató járásával ELLENKEZŐ irányban elvezető körív által alkotott szöget pozítívnak tekintjük, az óramutató járásával MEGEGYEZŐ irányban elvezetőt pedig negatívnak.

Ha egy pozitív, 0 és 90 fok közötti szöget egy derékszögű koordináta-rendszerben helyezünk el oly módon, hogy a szög csúcsa az origóba kerüljön, akkor látható, hogy az adott szög cosinusa a a szöggel képzett derékszögű háromszög másik csúcsának X koordinátájának értékével egyenlő, sinusa pedig az y koordinátájáéval.

A szöget 90 fok fölé növelve olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelyben a másik, nem derékszögű csúcs X koordinátája negatív értékű, Y koordinátája továbbra is pozitív. Az itt kapott, 90 és 180 fok közötti szög nem más, mint valamely 0 és 90 fok közötti szög Y tengelyre tükrözött párja, amit úgy kapunk meg, hogy az eredeti szöget levonjuk a 180 fokból.

Az ábrára nézve belátható, hogy:

sin( 180 - a ) = sin( a )

cos( 180 - a ) = - cos( a )


Ha szögünk 180 és 270 fok közé esik, akkor egy 0 és 90 fok közé eső szögből származtatható, oly módon, vagy hozzáadunk 180 fokot. Ekkor mind a sinus, mind a cosinus érték negatív lesz.

sin( 180 + a ) = - sin( a )

cos( 180 + a ) = - cos( a )

Az ábrából látható, hogy ugyanezeket a sinus és cosinus értékeket kapjuk meg akkor is, ha az a értékéhz nem hozzáaadunk 180 fokot, hanem levonjuk belőle, íly módon -90 és -180 fok közötti szögre téve szert.

sin( a - 180 ) = - sin( a )

cos( a - 180 ) = - cos( a )


Végül, ha szögünk 270 és 360 fok közé (vagy -90 és 0 fok közé) esik, akkor sinusa negatív, cosinusa pozitív értékü lesz.

sin( 0 - a ) = - sin( a )

cos( 0 - a ) = cos( a )


sin( 360 - a ) = - sin( a )

cos( 360 - a ) = cos( a )


(A sinus és cosinus függvény szempontjából tehát mindegy, hogy paraméterének a vizsgált szöget magát vesszük-e, vagy az azt 360 fokra kiegészítő szöget. 330 fok sinusa és kosinusa ugyanaz, mint -30 foké, -115 foké ugyanaz mint 245 foké, és így tovább.)


A szögfüggvények értékének meghatározása

A sinus függvény értékét adott X szögek esetében eleinte a legegyszerűbb módon, méréssel határozták meg: minél nagyobb méretű háromszögeket rajzoltak, és lemérték ezek oldalhosszúságait. Később rájöttek, hogy léteznek olyan matematikai sorozatok, amelyek annál jobban közelítik a sinus függvény értékét, minél több tagot tartalmaznak. Ezek egyike (X értéke itt radiánban értendő):

Általános formában leírva, a sorozat n. tagja, ha az egyenletet Sin(X)-X= ... formára rendezzük át:

A Cos( X ) értékét Sin( X ) -ből már egyszerűen meghatározhatjuk, de ennek is létezik végtelen soroazata:

Általános formában leírva, a sorozat n. tagja, ha az egyenletet Sin(X)-X= ... formára rendezzük át:

(A "!" jel egy adott - pozitív, egész - szám faktoriálisát jelenti. A faktoriális az adott szám szorzata valamennyi, nálánál kisebb, pozitív egész számmal. Így pl. 2! = 1*2 = 2, 3! = 1*2*3 = 6, 4! = 1*2*3*4 = 24, 5! = 1*2*3*4*5 = 120, és így tovább. A "^" a hatványozás jele, pl: 2^4= 2*2*2*2)